线性代数期末复习知识点考点总结

线性代数必考的知识点

1、行列式

1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质：

①、Aij和aij的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：Mij?(?1)i?jAijAij?(?1)i?jMij

4. 设n行列式D：

n(n?1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1?(?1)

2

D； n(n?1)将D顺时针或逆时针旋转90?

，所得行列式为D2，则D2?(?1)2

D；

将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3?D；

将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4?D； 5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

n(n?1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)

2

；

③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主对角元素的乘积； n(n?1)④、?◤?和?◢?：副对角元素的乘积??(?1)2

；

⑤、拉普拉斯展开式：

AOAC?AB、

C

AAC

B?O

B

BO

?O

BC

?(?1)m?nAB

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

n

6. 对于n阶行列式A，恒有：?E?A??n??(?1)kSn?kk?，其中Sk为k阶主子式；k?17. 证明A?0的方法：

①、A??A； ②、反证法；

③、构造齐次方程组Ax?0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A)?n； ⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.

A是n阶可逆矩阵：

?A?0（是非奇异矩阵）；

?r(A)?n（是满秩矩阵） ?A的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组Ax?0有非零解； ??b?Rn，Ax?b总有唯一解；

?A与E等价；

?A可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A的特征值全不为0； ?ATA是正定矩阵；

?A的行（列）向量组是Rn的一组基； ?A是Rn中某两组基的过渡矩阵；

2. 对于n阶矩阵A：AA*?A*A?AE 无条件恒成立； 3.

(A?1)*?(A*)?1(AB)T?BTAT

(A?1)T?(AT)?1(AB)*?B*A*

(A*)T?(AT)* (AB)?1?B?1A?1

4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

?A1?若A??

???

A2

??

?，则： ??

?As?

Ⅰ、A?A1A2?As；

?A1?1?

Ⅱ、A?1??

????

?1

?1A2

???； ??

?As?1??

O?

?；（主对角分块） B?1?

?A?1?AO?

②、????

OB???O

?O?OA?③、????1?

?BO??A?A?1?AC?④、????

OB???O

?1?1

?1

B?1?

?；（副对角分块） O?

?A?1CB?1?

?；（拉普拉斯） B?1?

O?

?；（拉普拉斯） B?1?

?A?1?AO?

⑤、?????1?1

CB????BCA

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1. 一个m?n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F??r

?O

对于同型矩阵A、B，若r(A)?r(B)?????A?B； 2. 行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、若(A?,?E)???(E?,?X)，则A可逆，且X?A?1；

②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A?1B，即：(A,B)???(E,A?1B)；

③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax?b，如果(A,b)?(E,x)，则A可逆，且x?A?1b； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

??1?

②、???

???

r

r

?E

O?

?； O?m?n

等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

c

?2

?

?

?，左乘矩阵A，?乘A的各行元素；右乘，?乘A的各列元素；

ii

??

??n?

?1??1?

???

③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)?1?E(i,j)，例如：??1???1?；

??1?1?????

?11?1

④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))?E(i())，例如：?k

?k

??

?1?1??

1?????k

1???

?

?1

??

?(k?0)； ?1??

k??k??1?1

????

⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))?1?E(ij(?k))，如：?1???1?(k?0)；

?1

??1????1??

5. 矩阵秩的基本性质：

①、0?r(Am?n)?min(m,n)；

②、r(AT)?r(A)；

③、若A?B，则r(A)?r(B)；

④、若P、Q可逆，则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B)；（※） ⑥、r(A?B)?r(A)?r(B)；（※） ⑦、r(AB)?min(r(A),r(B))；（※）

⑧、如果A是m?n矩阵，B是n?s矩阵，且AB?0，则：（※） Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?0解（转置运算后的结论）；

Ⅱ、r(A)?r(B)?n

⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)?r(A)?r(B)?n；

6. 三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

?1ac?

②、型如??01b?

?的矩阵：利用二项展开式；

??001??

二项展开式：(a?b)n

?C0

an

?C1an?1b1

???Cman?m

m

n

n

n

n

b???C

n?11b

n?1?Cn

bn

mmn?n

an

??Cm

nab； m?0

注：Ⅰ、(a?b)n展开后有n?1项；

Ⅱ、Cmn(n?1)??(n?m?1)n!

n?1?2?3???m?

m!(n?m)!

C0nn?Cn?1

Ⅲ、组合的性质：Cmn?m

n

r

n?CnCmmm?1

n?1?Cn?Cn

?C

n

?2n

rCrr?1n?nCn?1；

r?0

③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：

?n

r(A)?n?????①、伴随矩阵的秩：r(A*)??

?1

r(A)?n?1； ??

0r(A)?n?1

②、伴随矩阵的特征值：A

*?

(AX??X,A*?AA?1???AX?

A

?

X)；

③、A*?AA?1、A*?A

n?1

8. 关于A矩阵秩的描述：

①、r(A)?n，A中有n阶子式不为0，n?1阶子式全部为0；（两句话）

②、r(A)?n，A中有n阶子式全部为0；

③、r(A)?n，A中有n阶子式不为0；

9. 线性方程组：Ax?b，其中A为m?n矩阵，则：

①、m与方程的个数相同，即方程组Ax?b有m个方程；

②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax?b为n元方程； 10. 线性方程组Ax?b的求解：

①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；

11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1????ax?ax???ax?b???2112222nn2①、?； ?

??????????????am1x1?am2x2???anmxn?bn

?a11?②、?a21

????am1

a12a22?am2

?a1n??x1??b1?

?????

?a2n??x2??b2?（向量方程，??Ax?b

??????????????

?amn??xm??bm?

A为m?n矩阵，m个方程，n个未知数）

③、?a

1

a2

?b1??x1?

????

bx2?（全部按列分块，其中????2?）； ?an???

??????

????

?bn??xn?

④、a1x1?a2x2???anxn??（线性表出）

⑤、有解的充要条件：r(A)?r(A,?)?n（n为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1.

m个n维列向量所组成的向量组A：?1,?2,?,?m构成n?m矩阵A?(?1,?2,?,?m)；

??1T?

?T??TTT

m个n维行向量所组成的向量组B：?1,?2,?,?m构成m?n矩阵B??2?；

??????T???m?

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2. ①、向量组的线性相关、无关 ?Ax?0有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出 ?Ax?b是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 ?AX?B是否有解；（矩阵方程）

3. 矩阵Am?n与Bl?n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax?0和Bx?0同解；(P101例14) 4. 5.

r(ATA)?r(A)；(P101例15)

n维向量线性相关的几何意义：

①、?线性相关 ???0；

②、?,?线性相关 ??,?坐标成比例或共线（平行）；

③、?,?,?线性相关 ??,?,?共面；

6. 线性相关与无关的两套定理：

若?1,?2,?,?s线性相关，则?1,?2,?,?s,?s?1必线性相关；

若?1,?2,?,?s线性无关，则?1,?2,?,?s?1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r维向量组A的每个向量上添上n?r个分量，构成n维向量组B：

若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r?s；

向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)?r(B)；

向量组A能由向量组B线性表示

?AX?B有解；

?r(A)?r(A,B) 向量组A能由向量组B等价??r(A)?r(B)?r(A,B)

8. 方阵A可逆?存在有限个初等矩阵P1,P2,?,Pl，使A?P1P2?Pl；

①、矩阵行等价：A~B?PA?B（左乘，P可逆）?Ax?0与Bx?0同解

②、矩阵列等价：A~B?AQ?B（右乘，Q可逆）； ③、矩阵等价：A~B?PAQ?B（P、Q可逆）； 对于矩阵Am?n与Bl?n：

①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

②、若A与B行等价，则Ax?0与Bx?0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A的行秩等于列秩； 若Am?sBs?n?Cm?n，则：

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；

②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）

齐次方程组Bx?0的解一定是ABx?0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、ABx?0 只有零解???Bx?0只有零解；

②、Bx?0 有非零解???ABx?0一定存在非零解；

设向量组Bn?r:b1,b2,?,br可由向量组An?s:a1,a2,?,as线性表示为：

(b1,b2,?,br)?(a1,a2,?,as)K（B?AK）

其中K为s?r，且A线性无关，则B组线性无关?r(K)?r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：?r?r(B)?r(AK)?r(K),r(K)?r,?r(K)?r；充分性：反证法）

c

r

9.

10.

11.

12.

注：当r?s时，K为方阵，可当作定理使用；

13. ①、对矩阵Am?n，存在Qn?m，AQ?Em ?r(A)?m、Q的列向量线性无关；

②、对矩阵Am?n，存在Pn?m，PA?En ?r(A)?n、P的行向量线性无关； 14. ?1,?2,?,?s线性相关

?存在一组不全为0的数k1,k2,?,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0成立；（定义）

?x1???

?(?,?,?,?)?x2??0有非零解，即Ax?0有非零解； 12s

??????xs?

?r(?1,?2,?,?s)?s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15. 设m?n的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax?0的解集S的秩为：r(S)?n?r； 16. 若?*为Ax?b的一个解，?1,?2,?,?n?r为Ax?0的一个基础解系，则?*,?1,?2,?,?n?r线性无关；

5、相似矩阵和二次型

1. 正交矩阵?ATA?E或A?1?AT（定义），性质：

①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj??

?1?0

i?ji?j

(i,j?1,2,?n)；

②、若A为正交矩阵，则A?1?AT也为正交阵，且A??1； ③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：(a1,a2,?,ar)

b1?a1；

b2?a2?

[b,a]b[a,]b?ra[r,][b1,a2]1

b1?2r?b2????b?r; ?b1 ??? br?ar?1r?1

[b1,b1]b[2b,2]br?b[r1,1][b1,b1]?

3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A与B等价 ?A经过初等变换得到B；

?PAQ?B，P、Q可逆；

?r(A)?r(B)，A、B同型；

②、A与B合同 ?CTAC?B，其中可逆； ?xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数； ③、A与B相似 ?P?1AP?B； 相似一定合同、合同未必相似；

若C为正交矩阵，则CTAC?B?A?B，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； A为对称阵，则A为二次型矩阵； n元二次型xTAx为正定：

?A的正惯性指数为n；

?A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTAC?E； ?A的所有特征值均为正数； ?A的各阶顺序主子式均大于0； ?aii?0,A?0；(必要条件)

5. 6. 7.

第二篇：线性代数期末复习总结

线性代数复习总结

第一章：行列式

一、概念（1）全排列与逆序数.

（2）行列式：不同行不同列元素乘积的代数和（共n!项）

二、性质

1、 经转置行列式的值不变

2、 某行有公因子k，可以把k提到行列式外

3、 某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和 4、 两行互换行列式变号

5、 某行的k倍加到另一行，行列式的值不变 三、展开式 1、Dn?

n

?a

j?1

n

ij

Aij （按第i行展开） Dn??aijAij（按第j列展开）

i?1

n

2、

?a

j?1

ij

Akj?0

a12?b2?

?k?i? ?aijAik

i?1

n

?0

?k?j?

a11?3、b1

?

an1a21??

???

??a1n?????

?

?

bn?b1Ai1?b2Ai2??bnAin.其中Aij是aij中aij的代数余子式. ?

an2??ann

?a1n???

a2n

??b1A1j?b2A2j??bnAnj. ?

b2??

a11?b1

an1?bn?ann

四、计算

1、化成上三角或下三角行列式 2、利用行列式的性质 3、利用行列式的展开式

4、用矩阵的性质,A,B为n阶方阵，则有?kA, AB?AB.

n

ACA0A0

?AB ?AB, ?AB,其中A,B是方阵.

0BCB0B

5、用特征值A???i

第二章：矩阵

一、初等变换：

1、初等矩阵：单位阵经过一次初等变换所得的矩阵

2、初等矩阵P左乘A所得PA就是对A作了一次与P同样的初等行变换；初等矩阵Q左乘

A所得AQ就是对A作了一次与Q同样的初等列变换

3、任何矩阵都可以通过一系列初等行变换变成行阶梯型与行最简型矩阵 二、逆矩阵

1、证法：n阶方阵A可逆?A?0?R?A??n??B,使得AB?E（或者BA?E）

?A的特征值全不为零

?1

2、求法：（1）用定义，找矩阵B,使得AB?E，则A?B

(2) 初等变换法AE?EA (3) 用伴随矩阵法A

?1

???

?

r

?1

?

1?

A, AA??A?A?AE A

?1

?A?

? （4）用分块矩阵法??B???

?1

?A?1

????

r

???;??1??B??B

?1

A?

???

?1

????A?1?B?1?

? ??

3、矩阵方程AX?B?X?AB AB~EAB

????

AXB?C?X?A?1CB?1

三、矩阵的秩

1、计算：用初等变换法，用定义法 2、性质

（1）A为m?n矩阵，则有R?A??min?m,n?

（2）R?AB??min?R?A?,R?B??;如果A可逆，则有R?AB??R?B?. (3) A为n阶方阵，则有R?A??n?A?0;R?A??n?A?0. 四、矩阵运算的性质

?1?ABC?A?BC???AB?C ?2??A?A?,?AB?A?B?AB?.(其中?是数)

?3??AB?T?BTAT ?4??AB??B?1A?1. ?5?A?1

?1

????A?

T

T?1

?6?A,B为n阶方阵，则有?kn, ?7?方阵的幂

五、特殊矩阵

?AB.

伴随矩阵，正交矩阵AA?AA?E，对称矩阵，反对称矩阵，对角矩阵

TT

第三章：向量

一、线性表示

向量?可由向量组?1,?2,??m线性表示

?存在数k1,k2,?,km使得，??k1?1?k2?2??km?m ?方程组x1?1?x2?2??xm?m??有解（即是Ax??有解） ?

R??1,?2,??m??R??1,?2,??m,??（即是R?A??R?A,??）

二、线性相关与线性无关 1、向量组

?1,?2,??m线性相关?存在不全为零的数k1,k2,?,km使得，

k1?1?k2?2??km?m?0.

2、向量组

?1,?2,??m线性无关?如果k1?1?k2?2??km?m?0,则有

k1?k2???km?0.

3、向量组?1,?2,??m线性相关（无关）?方程组x1?1?x2?2??xm?m?0有非零解（只有零解）（即是Ax?0有非零解（只有零解））

?

R??1,?2,??m??m??m?（即是R?A??m??m?）

其中A???1,?2,??m?

4、向量组?1,?2,??m，如果A???1,?2,??m?是方阵，则?1,?2,??m线性相关（无关）?A?0A?0. 三、最大无关组与向量组的秩 概念

求法：求向量组?1,?2,??m的秩及其最大无关组，令A???1,?2,??m?，然后对矩阵A进行行初等变换，化到行阶梯型（或者行最简型），求出A的秩r，向量组的秩也是r。 四、向量组的等价

五、向量的正交，x??x1,x2,?,xn?;y??y1,y2,?,yn?,

T

T

??

x与y正交??x,y??xTy?0.

第四章：线性方程组

（以下A为m?n矩阵，方程组为n元方程组）

一、基本结论

1、Ax?O只有零解?R?A??n ；Ax?O有非零解?R?A??n

2、如果A是n阶方阵，则Ax?O只有零解?A?0 ；Ax?O有非零解?A?0. 3、Ax?b）有唯一解?R?A??R?A,b??n

Ax?b有无穷解?R?A??R?A,b??n Ax?b无解?R?A??R?A,b?

4、如果A是n阶方阵，则Ax?b有唯一解?A?0. 且有xj?列式A中把第j列改为常数列，其他不变.（克莱姆法则） 二、基础解系，解得结构

1、定理，Ax?O的秩R?A??r?n,则Ax?O得基础解系恰有n?k个线性无关的解向量. 2、求Ax?b的解，求导出组Ax?O的基础解系与Ax?b的一个特解 3、解的性质

若?1,?2是Ax?b的解，则?1??2是Ax?O的解；

若?是Ax?b的解，?是Ax?O的解，则???是Ax?b的解.

AjA

,其中Aj是系数行

第五章：特征值与特征向量

一、特征值与特征向量（以下A是n阶方阵） 1、定义Ax??x,

?x?0?

?x?0?，

2、求法：(1)特征值：用定义Ax??x,

特征方程A??E?0

(2)特征向量：用定义Ax??x,

?x?0?

基础解系法，求方程组?A??E?x?O的基础解系

3、性质：（1）不同特征值的特征向量线性无关 （2） A???i

（3）?是A的特征值，??x?是多项式，则????是??A?特征值. （4）A是可逆矩阵，?是A的特征值，则

1

?

是A的特征值

?1