概率论公式总结以及习题小测!

概率论公式总结以及习题小测!

第一章

P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

特别地，当A、B互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式

P(A|B)?P(AB)

P(B)

概率的乘法公式

P(AB)?P(B)P(A|B)?P(A)P(B|A)

全概率公式：从原因计算结果

?

n

P(A)?P(Bk)P(A|Bk)

k?1

Bayes公式：从结果找原因

P(BA)?P(B|B

i)P(Ai)k|?

n

P(B(A|B

k)Pk)k?1

第二章

二项分布（Bernoulli分布）——X~B(n,p)

P(X?k)?Ckpk(1?p)n?kn，(k?0,1,...,n)

泊松分布——X~P(λ)

k

P(X?k)??

k!e??，(k?0,1,...)

概率密度函数

?

??

??

f(x)dx?1

怎样计算概率

P(a?X?b)

P(a?X?b)??b

f(x)dx

a

均匀分布X~U(a,b)

f(x)?

1

b?a

(a?x?b)

指数分布X~Exp (θ)

f(x)?

1

?x/?

?

e(x?0)

分布函数

对离散型随机变量 F(x)?P(X?x)?k?P(X?k)

?x

对连续型随机变量

x

F(x)?P(X

?x)????

f(t)dt

分布函数与密度函数的重要关系：

F(x)?P(X?x)??x

??

f(t)dt

F'(x)?f(x)

二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法

联合密度函数 f(x,y)

联合分布函数 F(x,y)

f(x,y)?0

????

??

????

f(x,y)dxdy?1

0?F(x,y)?1 F(x,y)?P{X?x,Y?y}

联合密度与边缘密度

f??

X(x)????

f(x,y)dy

f Y(y)????

??

f(x,y)dx

离散型随机变量的独立性

P{X?i,Y?j}?P{X?i}P{Y?j}

连续型随机变量的独立性

f(x,y)?f(x)f

XY(y)

第三章

数学期望

离散型随机变量，数学期望定义

E(X)?

k

k???

x

k

?P???

??

连续型随机变量，数学期望定义 E(X)?x?f(x)dx

?

??

? E(a)=a，其中a为常数

? E(a+bX)=a+bE(X)，其中a、b为常数

? E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X、Y为任意随机变量

随机变量g(X)的数学期望 E(g(X))??

g(xk)pk

k常用公式

E(X)???xipij

E(X)???xf(x,y)dxdy

i

j

E(XY)???xiyjpij

i

j

正态分布

f(x)?

1

e2??

?

(x??)22?E(X?Y)?E(X)?E(Y)E(XY)???xyf(x,y)dxdy

E(X)??,D(X)??2

标准正态分布的概率计算 ?(a)?1??(?a)标准正态分布的概率计算公式

当X与Y独立时,E(XY)?E(X)E(Y)

方差 定义式

P(Z?a)?P(Z?a)??(a)

P(Z?a)?P(Z?a)?1??(a)

D(X)??

常用计算式

常用公式

2

?x?E(X)??f(x)dx??

??

2

P(a?Z?b)??(b)??(a)

P(?a?Z?a)??(a)??(?a)?2?(a)?1

一般正态分布的概率计算

D(X)?E(X2)??E(X)?

X~N(?,?2)?Z?

X??

D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2E{(X?E(X))(Y?E(Y))}

当X、Y相互独立时：

?

~N(0,1)

一般正态分布的概率计算公式

D(X?Y)?D(X)?D(Y)

P(X?a)?P(X?a)??(

a??

?

)

方差的性质

D(a)=0，其中a为常数

D(a+bX)=b2D(X)，其中a、b为常数

当X、Y相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数

E??X?E(X)??Y?E(Y)???E(XY)?E(X)E(Y)

Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)

Cov(X,Y)?XY?

D(X)D(Y)

协方差的性质

?

b??a??

P(a?X?b)??()??()

??

第五章 卡方分布

n

2

若X~N(0,1)，则Xi~?2(n)

i?1

P(X?a)?P(X?a)?1??(

a??

?

若Y~N(?,?2),则

t分布

1

?

2

??Y???

i

i?1

n

2

~?2(n)

Cov(X,X)?E(X2)??E(X)??D(X)

2

若X~N(0,1),Y~?(n),则

F分布 若U~?2(n),V~1正态总体条件下

样本均值的分布：

2

Cov(aX,bY)?abCov(X,Y)

X

~t(n) /n

Cov(X?Y,Z)?Cov(X,Z)?Cov(Y,Z)

独立与相关 独立必定不相关 相关必定不独立 不相关不一定独立 第四章

?2(n2),则

U/n1

~F(n1,n2)V/n2

~N(?,

分布：

?

2

n

)

??

~N(0,1)?/n

样本方差的

X~N(?,?2)

(n?1)S2

?2

~?(n?1)

2

??

~t(n?1)

s/n

两个正态总体的方差之比

S/S

~F(n1?1,n2?1)

?/?

21212222

两个正态总体均值差的置信区间 大样本或正态小样本且方差已知

22????1?????z?2? 12?/2

?n1n2??? 两个正态总体方差比的置信区间

2

?S12/S2??F(n?1,n?1),

2??/21

2

?S12/S2

?

F?/2(n1?1,n2?1)??

第六章

点估计：参数的估计值为一个常数 矩估计

最大似然估计 似然函数 n

第七章

假设检验的步骤

① 根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1 ② 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值 ③ 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则

拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。

不可避免的两类错误

第1类(弃真)错误：原假设为真，但拒绝了原假设 第2类(取伪)错误：原假设为假，但接受了原假设 单个正态总体的显著性检验

? 单正态总体均值的检验

? 大样本情形——Z检验

? 正态总体小样本、方差已知——Z检验 ? 正态总体小样本、方差未知—— t检验

? 单正态总体方差的检验

? 正态总体、均值未知——卡方检验

单正态总体均值的显著性检验 统计假设的形式

双边检验 (1)H0:???0H1:???0

(2)H0:???0H1:???0左边检验

(3)H0:???0H1:???0

右边检验

单正态总体均值的Z检验

L??

i?1

n

f(xi;?)L??p(xi;?)

i?1

均值的区间估计——大样本结果

?? ?

?z???/2

n? ?

—样本均值

—标准差(通常未知，可用样本标准差s代替)—样本容量(大样本要求n?50)

?

n

z?/2—正态分布的分位点?

??z?/2??

(1?)?

?? n?

n

—样本比例

—样本容量(大样本要求n?50)

z?/2—正态分布的分位点

小样本、正态总体、标准差?已知?? ?

??z?/2?

n??

Z?

??0

?/n

（大样本情形?未知时用S代替）

小样本、正态总体、标准差?未知

拒绝域的代数表示

s??

??t?/2(n?1)?

n??

Z?Z?/2双边检验

左边检验

Z??Z?

t?/2(n?1)—自由度为n?1的t分布的分位点

Z?Z?右边检验

比例——特殊的均值的Z检验

(n?1)S2

2??/2

,

(n?1)S2

?12??/2

?

S2

—样本方差

Z?

2

??/2—卡方分布的分位点

?p0

p0(1?p0)/n

——样本比例

p0——总体比例

正态总体方差的区间估计

单正态总体均值的 t 检验

??0 t?

S/n

单正态总体方差的卡方检验 2

(n?1)S ?2?2

?0

拒绝域

双边检验 ?2??2或?2??2

?/21??/2

Y?X2的分布律为_________。 10. 若二维随机变量（X, Y）的区域

(x,y)|x2?y2?R2上服从均匀分布，则（X，Y）的密度函数为__________。

11. 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

?e?y?1?

f(x,y)??x2,x?1,y?1,

??0,

则fX(x)?_________。

12. 设随机变量X的分布律为E(X2)?_________。

??

左边检验 ?2??21??/2

右边检验

?2??2?/2

概率论与数理统计复习题