曲线运动

物理必修二知识点总结

一、曲线运动

●曲线运动

1、定义：物体的运动轨迹是曲线的运动称为曲线运动。

2.物体做曲线运动的条件：

当物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上时，这个合力总能产生一个改变速度方向的效果，物体就一定做曲线运动。（F≠0且F与v不共线）

2、曲线运动的特点:质点在某一点的速度方向，就是通过该点的曲线的切线方向.质点的速度方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。

物体运动的性质由加速度决定(加速度为零时物体静止或做匀速运动;加速度恒定时物体做匀变速运动;加速度变化时物体做变加速运动)。

3、曲线运动的速度方向

在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线切线的方向。

4、曲线运动的轨迹:作曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指向的一方弯曲，若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的大致方向。

（曲线运动速度、力和轨迹的位置关系：速度和力在两边，轨迹夹中间，速度向力偏）

●曲线运动常见的类型：

(1)a=0：匀速直线运动或静止。

(2)a恒定：性质为匀变速运动，分为：

①v、a同向，匀加速直线运动;

②v、a反向，匀减速直线运动;

③v、a成角度，匀变速曲线运动(轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a的方向接近，但不可能达到。)

(3)a变化：性质为变加速运动。如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。

二、质点在平面内的运动

●合运动和分运动

当物体实际发生的运动较复杂时，我们可将其等效为同时参与几个简单的运动，前者――实际发生的运动称作合运动，后者则称作物体实际运动的分运动. ●运动的合成和分解

已知分运动求合运动，叫做运动的合成;已知合运动求分运动，叫做运动的分解，这种双向的等效操作过程，是研究复杂运动的重要万法. 1、合运动与分运动的关系:等时性;独立性;等效性。 2、运动的合成与分解的法则:平行四边形定则 3、分解原则:根据运动的实际效果分解，物体的实际运动为合运动。 其运动规律为：

(1)水平方向：ax=0，vx=v0，x=v0t。

(2)竖直方向：ay=g，vy=gt，y=gt2/2。

(3)合运动：a=g， ， 。vt与v0方向夹角为θ，tanθ=gt/v0，s与x方向夹角为α，tanα=gt/2v0.

平抛运动中飞行时间仅由抛出点与落地点的竖直高度来决定，即 ，与v0无关。水平射程s=v0 .

●运动的合成和分解的应用

(1)进行运动的合成与分解，就是对描述运动的各物理量如位移、速度、加速度等矢量用平行四边形定则求和或求差.运动的合成与分解遵循如下原理： ①独立性原理：构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律进行，不会因有其他分运动的存在而发生改变.

②等时性原理：合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个分运动的结果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义.

③矢量性原理：描述运动状态的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则，即平行四边形定则作上述物理量的运算.

(2)合运动的性质可由分运动的性质决定：两个匀速直线运动的合成仍是匀速直线运动;匀速直线运动与匀变速直线运动的合运动为匀变速运动;两个匀变速直线运动的合运动是匀变速运动.

(3)过河问题

若用v1表示水速，v2表示船速，则：

①过河时间仅由v2的垂直于岸的分量v⊥决定，即，与v1无关，所以当v2⊥岸时，过河所用时间最短，最短时间为也与v1无关。

②过河路程由实际运动轨迹的方向决定。

(4)连带运动问题

指物拉绳(杆)或绳(杆)拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相同求解。

三、平抛运动的规律

●特点

(1)具有水平方向的初速度

(2)只受重力作用，是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动。 ●运动规律

平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。建立直角坐标系(一般以抛出点为坐标原点O，以初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向)。由两个分运动规律来处理。

(1)水平方向上： ; (2)竖直方向上： ; (3)任意时刻的速度： ;

●有关公式

① 速度公式

水平分速度:vx=v0;竖直分速度:vy=gt.

T时刻平抛物体的速度大小和方向:

Vt= ,tanα= =gt/v0

② 位移公式(位置坐标):水平分位移:x=v0t;竖直分位移:y=gt2/2

t时间内合位移的大小和方向:l= ;tanθ= = 由于tanα=2tanθ,vt的反向延长线与x轴的交点为水平位移的中点。

③ 轨迹方程:平抛物体在任意时刻的位置坐标x和y所满足的方程,叫轨迹方程,由位移公式消去t可得:

y= x2或x2=

四、实验：研究平抛运动

(1)处理平抛运动问题，要把握手抛运动的特点，将其分解成两个直线运动，在水平方向利用匀速直线运动的规律，在竖直方向则利用初速为零的匀加速直线运动的规律.例如：

①匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度V中.

②任意两个连续相等时间间隔ΔT内位移差：sⅡ-sI=sⅢ-sⅡ=Δs=aΔT2 ③速为零的匀加速直线运动，前1，2，?n个等时间间隔内位移之比： s1：s2：s3：???：sn=l：4：?：n2

第1，2，?N个等时间间隔内位移之比：

sⅠ：sⅡ：??sN=1：3：?：(2n-l)

(2)当平抛物体的落点在水平面上时，物体在空中运动的时间由自由落体分运动的下落高度h决定，与初速度v0大小无关;t而物体的水平射程则由高度与初速度两者共同决定。

(3)一个有用的推论

平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。

五、圆周运动

●匀速圆周运动

1、定义和性质

(1)质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动叫做匀速圆周运动，是一种基本的曲线运动

(2)匀速圆周运动具有如下特点：①轨迹是圆;②线速度、加速度均大小不变，方向不断改变，故属于加速度改变的变速曲线运动，匀速圆周运动的角速度恒定;③匀速圆周运动发生条件是质点受到大小不变、方向始终与速度方向垂直的合外力;④匀速圆周运动的运动状态周而复始地出现，匀速圆周运动具有周期性。 ●匀速圆周运动的速度

1.线速度、角速度、周期和频率

(1)线速度v是描述质点沿圆周运动快慢的物理量，是矢量;其方向沿轨迹切线，国际单位制中单位符号是m/s;

(2)角速度ω是描述质点绕圆心转动快慢的物理量，是矢量;在国际单位制中单位符号是rad/s;

(3)周期T是质点沿圆周运动一周所用时间，在国际单位制中单位符号是s;

(4)频率f是质点在单位时间内完成一个完整圆运动的次数，在国际单位制中单位符号是Hz;

(5)转速n是质点在单位时间内转过的圈数，单位符号为r/s，以及r/min.

2、速度、角速度、周期和频率的关系

线速度、角速度、周期和频率各量从不同角度描述质点运动的快慢，它们之间的关系，即V、ω、T、f之间的关系是：T=1/f,ω=2πf,v=2πr/T=2πrf=ωr.

由上可知，在角速度一定时，线速度大小与半径成正比;在线速度一定时，角速度大小与半径成反比.

凡是直接用皮带传动(包括链条传动、摩擦传动)的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等;凡是同一个轮轴上(各个轮都绕同一根轴同步转动)的各点角速度相等(轴上的点除外)。

六、向心加速度

●向心加速度

(1)向心加速度由向心力产生，描述线速度方向变化的快慢，是矢量.

(2)向心加速度方向与向心力方向恒一致，总沿半径指向圆心;向心加速度的大小为

(3)一般地说，当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小;其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速 度描述速度大小变化的快慢。

七、向心力

●向心力

(1)向心力是改变物体运动方向，产生向心加速度的原因.

(2)向心力的方向指向圆心，总与物体运动方向垂直，所以向心力只改变速度的方向.

(3)根据牛顿运动定律，向心力与向心加速度的因果关系是，两者方向恒一致：总是与速度垂直、沿半径指向圆心.

(4)对于匀速圆周运动，物体所受合外力全部作为向心力，故做匀速圆周运动的物体所受合外力应是：大小不变、方向始终与速度方向垂直.

●向心力公式

(1)由公式a=ω2r与a=v2/r可知，在角速度一定的条件下，质点的向心加速度与半径成正比;在线速度一定的条件下，质点的向心加速度与半径成反比.

(2)做匀速圆周运动的物体所受合外力全部作为向心力，故物体所受合外力应大小不变、方向始终与速度方向垂直;合外力只改变速度的方向，不改变速度的大小.根据公式，倘若物体所受合外力F大于在某圆轨道运动所需向心力，物体将速率不变地运动到半径减小的新圆轨道里(在那里，物体的角速度将增大)，使物体所受合外力恰等于该轨道上所需向心力，可见物体在此时会做靠近圆心的运动;反之，倘若物体所受合外力小于在某圆轨道运动所需向心力，“向心力不足”， 物体运动的轨道半径将增大，因而逐渐远离圆心.如果合外力突然消失，物体将沿切线方向飞出，这就是离心运动.

●用向心力公式解决实际问题

根据公式求解圆周运动的动力学问题时应做到四确定：

(1)确定圆心与圆轨迹所在平面;

(2)确定向心力来源;

(3)以指向圆心方向为正，确定参与构成向心力的各分力的正、负;

(4)确定满足牛顿定律的动力学方程.

做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律：Fn=man在列方程时，根据物体的受力分析，在方程左边写出外界给物体提供的合外力，右边写出物体需要的向心力(可选用等各种形式)。

八、生活中的圆周运动

●圆周运动的实例

1.实际运动中向心力来源的分析

(1)向心力是根据力的作用效果命名的，物体所受的某个力，或某个力的分力，或几个力的合力，只要能产生只改变物体速度的方向、不改变速度大小的效果，就是向心力，向心力肯定是变力，它的方向总在改变.

(2)向心力来源于物体实际所受的外力，处理具体问题时，我们首先要明确物体受什么力，这些力有没有沿垂直于速度方向的分力，所有沿与速度方向垂直的分力都具有改变速度方向的作用效果，都将参与构成向心力.

2.变速圆周运动中特殊点的有关问题

(1)向心力和向心加速度的公式同样适用于变速圆周运动，求质点在变速圆周运动某瞬时的向心加速度的大小时，公式中的v(或ω)必须用该时刻的瞬时值.

(2)物体在重力和弹力作用下在竖直平面内的变速圆周运动通常只研究两个特殊状态，即在轨道的最高点与最低点.在这两个位置时，提供向心力的重力、弹力及向心加速度均在同一竖直线上，向心力是弹力与重力的代数和，在这两个位置时物体的速度、加速度均不同.

这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力;而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。

(1)弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有即，否则不能通过最高点。

(2)弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有：，否则车将离开桥面，做平抛运动。

(3)弹力既可能向上又可能向下，如管内转(或杆连球、环穿珠)。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论：①当时物体受到的弹力必 然是向下的;当时物体受到的弹力必然是向上的;当时物体受到的弹力恰好为零。②当弹力大小Fmg时，向心力只有一解：F+mg;当弹力F=mg时，向心力等于零。

3、圆锥摆

圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动。其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力(弹力的竖直分力和重力互为平衡力)。

第二篇：曲线运动小结

复习目标：

1、学生通过讨论例1复习曲线运动的产生条件及基本概念。

2、学生通过讨论例2总结两个直线运动的合运动各种情况。

3、学生通过讨论例3复习小船过河时间，位移。 4、学生通过讨论例

4复习平抛运动合位移、分位移、合速度、分速度。

例1：如图所示，一质点从M点到N点做曲线运动，当它通过P点时，其速度v和加速度a的关系可能正确的是( )

本题考查的知识点：

例2：一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x方向和y方向上的

分运动速度高温烘箱随时间变化的规律如图所示．关于物体的运动，下列说

法正确的是 ( )

A．物体做曲线运动

B．物体做直线运动

C．物体运动的初速度大小是50 m/s

D．物体运动的初速度大小是10 m/s

本题考查的知识点：

例3、一艘小艇从河岸上的A处出发渡河，小艇艇身保持与河岸垂直，经过t1=10min，小艇到达正对

O 岸下游x=120m的C处，如图所示，如果小艇保持速度大小不变逆水斜向上游与河岸成37小艇恰好

到达河对岸的B处。求：

（1）水流的速度；

（2）船在静水中的速度；

（3）河宽；

本题考查的知识点：

例4、跳台滑雪利用山势特别建造的跳台进行的滑雪表演，滑雪过程中滑雪者可看成质点。如图，设一位运动员由a点沿水平方向跃起，到b点着陆时，测得ab间距离l＝40m，山坡倾角θ＝30°。试计算运动员起跳的速度和他在空中飞行的时间。（不计空气阻力，g取10m/s2）

本题考查的知识点：

当堂测试

1、若已知物体的速度方向和它所受合力的方向，如下图所示，可能的运动轨迹是

( )

2、关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是( )

A．合运动的速度大小等于分运动的速度大小之和

B．物体的两个分运动若是直线运动，它的合运动可能是曲线运动

C．合运动和分运动具有等时性

D．若合运动是曲线运动，则其分运动中至少有一个是曲线运动

3、、某河水流速度为4m/s，一小船对静水的速度大小是5m/s，要渡过此河，船头垂直河岸行驶，已知河宽为120m，试求：

①过河时间最短时过河位移。

②过河位移最短时过河时间。

4、如图所示，在倾角为α＝30°的斜坡顶端A处，沿水平方向以初速度v0＝10 m/s抛出一小球，恰好落在斜坡的B点，取重力加速度g＝10 m/s2，求：

(1)小球在空中飞行的时间；

(2)AB间的距离；

课下思考：

（3）从抛出开始经多长时间小球与斜面间的距离最大．

知识梳理

一、曲线运动的基本概念中几个关键问题

① 曲线运动的速度方向： 。

② 曲线运动的性质： 。

③ 物体做曲线运动的条件： 。

④ 做曲线运动的物体所受合外力的方向指向 。

二、运动的合成与分解

①互成角度的两个直线运动合成规律：

①两个匀速直线运动的合运动是 直线运动。

②两个初速为零的匀加速直线运动的合运动是 运动。

③一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动是 运动。

两个直线运动的合运动是直线运动的条件是 ，两个直线运动的合运动是曲线运动的条件是 。

②速度的分解

合速度就是 速度。

③小船过河

(1)求小船过河时间：

小船过河时间最短： （过河时间最短是小船过河时间的特殊情况。

(2)小船过河位移最短位移方向和船速方向。

若v船?v水，小船过河位移最短位移方向cosα 若v水?v船，小船过河位移最短位移方向cosα ④平抛运动

1．运动性质

a)水平方向： ．

b)竖直方向： ．

c)在水平方向和竖直方向的两个分运动同时存在，互不影响，具有独立性．

d)合运动是匀变速曲线运动．

2．平抛运动的规律

以抛出点为坐标原点，以初速度v0方向为x正方向，竖直向下为y 正方向，如右图所示，则有： 分速度 vx? vy?合速度v? tan??

分位移x? y?

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