组合1

题型总结

排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。

一． 直接法

1． 特殊元素法

例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个

（1）数字1不排在个位和千位

（2）数字1不在个位，数字6不在千位。 分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择

2

=240 A52A4

A52，其余

2位有四个可供选择

2

，由乘法原理：A4

2．特殊位置法

（2）当1在千位时余下三位有A5=60，1不在千位时，千位有A4种选法，个位有A4种，余下的有

2112

，共有A4A4A4=192所以总共有192+60=252 A4

3

11

二． 间接法

当2）可用间接法

432

=252 A6?2A5?A4

例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？

分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因

而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数C5

22

C4?22?A2

3

3

个，其中0在百位的有?23?A3

个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数

22233

-C4?2?A2=432（个） C5?23?A3

三． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插

入方法？

分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有中插入方法。

四． 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。

例4

4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？

11

=100A9?A10

分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有又乘法原理满足条件的排法有：

44

×A4=576 A4

44

种排法，而男生之间又有A4种排法，A4

练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（C4A3）

2．

某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学

1

19

）?A28

2

3

校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（C29

1

（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有C29其余的就是19所学校选28天进行排列）

五． 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法

例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。

分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有C11种

练习1.(a+b+c+d)15有多少项？

当项中只有一个字母时，有C4种（即a.b.c.d而指数只有15故C4

2

1

1

。 ?C14

7

当项中有2个字母时，有C4而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，

121

即C4C14 C14

当项中有3个字母时C4指数15分给3个字母分三组即可C4C14 当项种4个字母都在时C4

4

3

四者都相加即可． ?C14

332

练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（C16）

3．不定方程X1+X2+X3+…+X50=100中不同的整数解有（C99）

六． 平均分堆问题 例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？

分析：分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由顺序不同可以有A3=6种，而这6种分法只算一种分

222

C6C4C2

堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有3

A3

349

2

=15种

练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？

2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。

七． 合并单元格解决染色问题

例7 （全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。 分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5． 下面分情况讨论:

(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素 ①③⑤的全排列数

A

44

（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得（ⅲ）当2、4与3、5 ①

A

44

种着色法．

分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格

从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有 由加法原理知：不同着色方法共有2

4

C4?A3种方法．

3

3

33

A4?C4A3=48+24=72（种）

练习1（天津卷（文））将3种作物种植

在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ， 不同的种植方法共 种（以数字作答） （72）

2．（江苏、辽宁、天津卷（理））某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）．（120）

图3 图4

3．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）

4．如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）

1

24

3

5

6

2

13

4

BA

C

DE

图5 图6

5．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，

则不同的染色方法共 种（420）

八． 递推法

例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？ 分析：设上n级楼梯的走法为an种，易知a1=1,a2=2,当n≥2时，上n级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有an-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有an-2种走法，由加法原理知：an=an-1+ an-2,据此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。

九.几何问题

1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有 种（3C5+3=33）

2.四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？ (C10-4C6+4-3C4+3-6C4+6+2×6=29)

(2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？ 三棱锥 C104-4C64-6C44-3C44=141 四棱锥 6×4×4=96 3×6=18 共有114

3

33

33

十． 先选后排法

例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有（ ） A.1260种

B.2025种

C.2520种

D.5054种

分析：先从10人中选出2人

十一．用转换法解排列组合问题

例10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．

解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．例11． 个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．

解 把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．C9=126种

例12 从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法． 解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。C991 例13 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最

短的走法有多少种．

解 无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题．C7=35（种）

例14 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的

走法．

3

10

5

A52=20种

解 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．C12=924（种）． 例15 求（a+b+c）10的展开式的项数．

解 展开使的项为aαbβcγ,且α+β+γ=10，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题．C12=66（种）

例16 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比

赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？

解 设亚洲队队员为a1,a2，…,a5,欧洲队队员为b1，b2，…，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为C10=252（种）

6

6

2

十二．转化命题法

例17 圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？ 分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有C15=1365（个）

4

十三．概率法

例18 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，

那么该天的课程表有多少种排法？

分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为例所求的排法种数就是所有排法的

1

2

，故本

12

，即

12

A=360种

十四．除序法 例19 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，

（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？

（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ 解（1）

A77A33

（2）

7A734A3A4

十五．错位排列

例20 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有 种（9） 公式 1）an种错排．

?(n?1)(an?1?an?2) n=4时a4=3(a3+a2)=9种 即三个人有两种错排，两个人有一

2）an=n!(1-

111n1 +-+…+??1?1!2!3!n!

练习 有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44）

第二篇：组合

1．2．2组合

教学目标：

知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与

区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。 过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数?m与组合数Cnm之间的联系，掌握组合数公n式，能运用组合数公式进行计算。

情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。 教学重点：教学难点：授课类型：新授课课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定

义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系. 指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.

能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.

学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题. 排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高. 教学过程：

一、复习引入：

1．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m．．．．．2．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号Anm

3．排列数公式：An?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)（m,n?N,m?n） n!表示正整数1到n的连乘积，叫做n0!?1．

m?

5．排列数的另一个计算公式：Anm=

n!(n?m)!

6.提出问题：

示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2．．

二、讲解新课：

n个不同元素中取出m?m?n?个元素并成一组，叫做从n个不

同元素中取出m例1．判断下列问题是组合还是排列

（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？

（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？

（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？ （4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？ （5）10个人互通电话一次，共多少个电话？ 问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？ （2）什么样的两个组合就叫相同的组合

2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m?m?n?个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cn表示． ．．．3．组合数公式的推导：

（1）从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的组合数C4是多少呢？

启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数A4可以．．．．．．．．．求得，故我们可以考察一下C4和A4的关系，如下： 组 合 排列

abc

????

abc,abd,acd,bcd,

bac,bad,cad,cbd,

cab,dab,dac,dbc,

acb,adb,adc,bdc,

bca,bda,cda,cdb,

cbadbadcadcb

3

3

3

3

m

abd

acdbcd

由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A4，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有

3

3

C4个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有A3种方法．由分步计数原理得：

3

A＝C?A，所以，C

34343334

?

A4A

3

33

．

（2）推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数Anm，可以分如下两步： ① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cnm；

mm② 求每一个组合中m个元素全排列数Am，根据分步计数原理得：Anm＝Cnm?Am．

（3）组合数的公式：

C

m

n

?

AnA

m

mm

?

n(n?1)(n?2)?(n?m?1)

m!

或Cm?n

n!m!(n?m)!

n

(n,m?N,且m?n?

规定: C?1.

三、讲解范例：

例2．计算：（1）C7； （2）C10； （1）解： C7?

74

47

7?6?5?4

4!

＝35；

＝120．

（2）解法1：C10? 解法2：C10?

7

10?9?8?7?6?5?4

7!

?

10?9?8

3!

10!7!3!

＝120．

例3． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：

(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？

(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？

分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．

解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） .

(2）教练员可以分两步完成这件事情：

第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有C17种选法； 第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有C11种选法．

1

11

所以教练员做这件事情的方法数有

C17?C11=136136（种）.

11

1

思考：对于问题（2），你还有别的解题方法吗？ 练习1．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？ (2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？

解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有

C

210

?

10?91?2

?45（条）.

(2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有

A

2

10

?10?9?90（条）.

m

例4．求证：Cn?证明：∵Cm?nm?1n?m

m?1n?m

?C

m?1

n

．

n!m!(n?m)!m?1

?C

m?1n

?

n?m(m?1)!(n?m?1)!

n!

?

n!

＝

m?1

(m?1)!(n?m)(n?m?1)!

n!m!(n?m)!

?C

m?1n

?

＝

∴Cn?

m

m?1n?m

x?12x?3

练习2．设x?N?, 求C2x?3?Cx?1 解：由题意可得：?

?2x?3?x?1?x?1?2x?3

，解得2?x?4，

∵x?N?， ∴x?2或x?3或x?4，

当x?2时原式值为7；当x?3时原式值为7；当x?4时原式值为11． ∴所求值为4或7或11． 四、课堂练习：

1、甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛， (1)列出所有各场比赛的双方； （2)列出所有冠亚军的可能情况.

2、学校开设了6门选修课，要求每个学生从中选学3门，每个学生有多少种不同的选法？ 3、从3、5、7、11这四个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不相等的积？ 五、课堂小结：（学生总结，教师补充） 1、组合、组合数的概念

2、组合与排列的区别与联系

3、求组合数转化为求排列数，体现了数学中的化归思想. 六、课后作业：习题1.2 B组 1、2、3、4 七、板书设计（略）八、教学反思：

排列组合问题联系实际生动有趣，题型多样新颖且贴近生活，解法灵活独到但不易掌握，许多学生面对较难问题时一筹莫展、无计可施，尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时，可考虑换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗。