导数知识点总结及经典习题解答

导数知识点及习题讲解

1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y?f(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量?x，则函数值y也引起相应的增量?y?f(x0??x)?f(x0)；比值

?yf(x0??x)?f(x0)

称为函数y?f(x)在点x0到x0??x之间的平均变化率；如果极?

?x?x

限lim

f(x0??x)?f(x0)?y

存在，则称函数y?f(x)在点x0处可导，并把这个?lim

?x?0?x?x?0?x

极限叫做y?f(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或y'|x?x0，即

f'(x0)=lim

f(x0??x)?f(x0)?y

. ?lim

?x?0?x?x?0?x

②已知函数y?f(x)定义域为A，y?f'(x)的定义域为B，则A与B关系为A?B.

2. 函数y?f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：

⑴函数y?f(x)在点x0处连续是y?f(x)在点x0处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果y?f(x)在点x0处可导，那么y?f(x)点x0处连续. 事实上，令x?x0??x，则x?x0相当于?x?0. 于是limf(x)?limf(x0??x)?lim[f(x?x0)?f(x0)?f(x0)]

x?x0

?x?0

?x?0

?lim[

?x?0

f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)

??x?f(x0)]?lim?lim?limf(x0)?f'(x0)?0?f(x0)?f(x0).

?x?0?x?0?x?0?x?x

⑵如果y?f(x)点x0处连续，那么y?f(x)在点x0处可导，是不一定成立的. 例：f(x)?|x|在点x0?0处连续，但在点x0?0处不可导

注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：

函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y?f(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线y?f(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为y?y0?f'(x)(x?x0).

4. 求导数的四则运算法则：

(u?v)'?u'?v'?y?f1(x)?f2(x)?...?fn(x)?y'?f1'(x)?f2'(x)?...?fn'(x)

(uv)'?vu'?v'u?(cv)'?c'v?cv'?cv'（c为常数）

vu'?v'u?u?

(v?0) ???2vv??

'

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它

们的和、差、积、商不一定不可导.

)'?coxs (arcsx)i'n?I.C'?0（C为常数） (sixn

x)o'?s?(xn)'?nxn?1（n?R） (cosx)'??sinx (arcc

1?x

2

1?x

2

1'11'(arctx)an?II. (lnx)? (loag x)?loage

xxx2?1

'

(ex)'?ex (ax)'?axlna (arccoxt)'??5. 复合函数的求导法则：fx'(?(x))?f'(u)?'(x)或y'x?y'u?u'x 6. 函数单调性：

1x2?1

⑴函数单调性的判定方法：设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)＞0，则

y?f(x)为增函数；如果f'(x)＜0，则y?f(x)为减函数

注：①f(x)?0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y?2x3在(??,??)上并不是都有f(x)?0，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样f(x)?0是f（x）递减的充分非必要条件.

7. 极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理） 当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是极小值

y?f(x)???

x2

例1．x?11处可导，则a?b?

?ax?b

x?1

在x?

例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：

（1）limf(a?3h)?f(a?h)

f(a?h2)2h； （2）lim?f(a)?0h

?h?0?h

1．（全国卷10）函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（ ）

A (?3?

2

,

2

) B (π,2π) C (

3?2,5?

2

) D (2π,3)

2. 已知函数f(x)=ax2

＋c,且f?(1)=2,则a的值为（ ）

A.1 B.2 C.－1 D. 0

3 f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x),g(x)满足f'(x)?g'

(x),则f(x)与g(x)满足（ ）

A f(x)?2g(x) Bf(x)?g(x)为常数函数

Cf(x)?g(x)?0 D f(x)?g(x)为常数函数

4. 函数y=x3

+x的递增区间是（ ）

A (??,1) B (?1,1) C (??,??) D (1,??)

7．曲线f(x)=x3+x-2在p0处的切线平行于直线y=4x-1，则p0点的坐标为（ A (1,0) B (2,8)

C (1,0)和(?1,?4) D (2,8)和(?1,?4)

8．函数y?1?3x?x3

有 （ ）

A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3

C.极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2

9 对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x?1)f'

(x)?0，则必有（ ）

A f(0)?f(2)?2f(1) B f(0)?f(2)?2f(1) C f(0)?f(2)?2f(1) D f(0)?f(2)?2f(1)

11．函数y?x3

?x2

?x的单调区间为___________________________________.

）

13.曲线y?x?4x在点(1,?3) 处的切线倾斜角为__________.

17．已知f(x)?ax?bx?c的图象经过点(0,1)，且在x?1处的切线方程是y?x?2，请解答下列问题：

（1）求y?f(x)的解析式； （2）求y?f(x)的单调递增区间。

18．已知函数f(x)?ax3?

4

2

3

3

(a?2)x2?6x?3 2

（1）当a?2时，求函数f(x)极小值； （2）试讨论曲线y?f(x)与x轴公共点的个数。

32

19.已知函数f(x)?x?ax?bx?c在x??

2

与x?1时都取得极值 3

（1）求a,b的值与函数f(x)的单调区间

（2）若对x?[?1,2]，不等式f(x)?c恒成立，求c的取值范围

2

第二篇：导数知识点总结及经典习题解答 2

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导数知识点及习题讲解

1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y?f(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量?x，则函数值y也引起相应的增量?y?f(x0??x)?f(x0)；比值?yf(x0??x)?f(x0)??x?x称为函数y?f(x)在点x0到x0??x之间的平均变化率；如果极限limf(x0??x)?f(x0)?y存在，则称函数y?f(x)在点x0处可导，并把这个?lim?x?0?x?x?0?x

极限叫做y?f(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或y'|x?x0，即f'(x0)=limf(x0??x)?f(x0)?y. ?lim?x?0?x?x?0?x

②以知函数y?f(x)定义域为A，y?f'(x)的定义域为B，则A与B关系为A?B.

2. 函数y?f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：

⑴函数y?f(x)在点x0处连续是y?f(x)在点x0处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果y?f(x)在点x0处可导，那么y?f(x)点x0处连续.

事实上，令x?x0??x，则x?x0相当于?x?0.

于是limf(x)?limf(x0??x)?lim[f(x?x0)?f(x0)?f(x0)] x?x0?x?0?x?0

?lim[?x?0f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)??x?f(x0)]?lim?lim?limf(x0)?f'(x0)?0?f(x0)?f(x0).?x?0?x?0?x?0?x?x

⑵如果y?f(x)点x0处连续，那么y?f(x)在点x0处可导，是不成立的. 例：f(x)?|x|在点x0?0处连续，但在点x0?0处不可导

注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

3. 导数的几何意义：

函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y?f(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线y?f(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为y?y0?f'(x)(x?x0).

4. 求导数的四则运算法则：

(u?v)'?u'?v'?y?f1(x)?f2(x)?...?fn(x)?y'?f1'(x)?f2'(x)?...?fn'(x)

(uv)'?vu'?v'u?(cv)'?c'v?cv'?cv'（c为常数）

vu'?v'u?u?(v?0) ???2vv??'

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.

n)'?coxs(arcxs)i'n?I.C'?0（C为常数） (six1

?x2

'x)o?s?(xn)'?nxn?1（n?R） (cox)s'??sinx(arcc1

?x2 II. 1'11'(arctanx)? (lnx)?(logax)?logaexxx2?1'(ex)'?ex(ax)'?axlna(arccotx)'??1

x2?1

5. 复合函数的求导法则：fx'(?(x))?f'(u)?'(x)或y'x?y'u?u'x

6. 函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)＞0，则y?f(x)为增函数；如果f'(x)＜0，则y?f(x)为减函数

注：①f(x)?0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y?2x3在(??,??)上并不是都有f(x)?0，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样f(x)?0是f（x）递减的充分非必要条件.

7. 极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理）

当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是极小值

例1．y?f(x)???x2x?1处可导，则

?ax?bx?1 在x?1a?b?

例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：

（1）f(a?h2)?

?limf(a?3h)?f(a?h)；（2）h?02h?limf(a) h?0h

1．（全国卷10）函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（ ） A (?,3?5?

22) B (π,2π) C (3?

2,2) D (2π,3)

2. 已知函数f(x)=ax2＋c,且f?(1)=2,则a的值为（ ）

A.1 B.2 C.－1 D. 0

3 f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x),g(x)满足f'(x)?g'(x),则

f(x)与g(x)满足（ ）

A f(x)?2g(x) Bf(x)?g(x)为常数函数

Cf(x)?g(x)?0 D f(x)?g(x)为常数函数

4. 函数y=x3+x的递增区间是（ ）

A (??,1) B (?1,1)C (??,??)D (1,??)

7．曲线f(x)=x3+x-2在p0处的切线平行于直线y=4x-1，则p0点的坐标为（

A(1,0) B (2,8)

C(1,0)和(?1,?4) D (2,8)和(?1,?4)

8．函数y?1?3x?x3 有 （ ）

A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3

C.极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2

9 对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x?1)f'(x)?0，则必有（ ）

Af(0)?f(2)?2f(1) B f(0)?f(2)?2f(1)

C f(0)?f(2)?2f(1) Df(0)?f(2)?2f(1)

11．函数y?x3?x2?x的单调区间为___________________________________. ）

13.曲线y?x?4x在点(1,?3)处的切线倾斜角为__________.

17．已知f(x)?ax?bx?c的图象经过点(0,1)，且在x?1处的切线方程是y?x?2，请解答下列问题：

（1）求y?f(x)的解析式；

（2）求y?f(x)的单调递增区间。

18．已知函数f(x)?ax3?4233(a?2)x2?6x?3 2

（1）当a?2时，求函数f(x)极小值；

（2）试讨论曲线y?f(x)与x轴公共点的个数。

19.已知函数f(x)?x?ax?bx?c在x??

（1）求a,b的值与函数f(x)的单调区间

（2）若对x?[?1,2]，不等式f(x)?c恒成立，求c的取值范围

2322与x?1时都取得极值 3