椭圆、双曲线、抛物线相关知识点的总结-教师版

椭圆、双曲线、抛物线相关知识点总结

一、 椭圆的标准方程及其几何性质

椭圆的定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数?大于F1F2?的点的轨

迹叫做椭圆。符号语言：MF?MF?2a2a?2c

将定义中的常数记为2a，则：①.当2a?F1F2时，点的轨迹是 椭圆

②.当2a?F1F2时，点的轨迹是 线段 ③.当2a?F1F2时，点的轨迹 不存在

2

2

焦点位置不确定的椭圆方程可设为：mx?ny?1?m?0,n?0,m?n?

x2y2x2y2

与椭圆2?2?1共焦点的椭圆系方程可设为：2?2?1?k??b2?

a?kb?kab

二、 双曲线的标准方程及其几何性质

双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F，F的距离的差的绝对值等于常数小于FF 的点的轨迹叫做双曲线。符号语言：MF-MF?2a2a?2c

将定义中的常数记为2

a，则：①.当2a?F1F2时，点的轨迹是 双曲线

②.当2a?F1F2时，点的轨迹是 两条射线 ③.当2a?F1F2时，点的轨迹 不存在

焦点位置不确定的双曲线方程可设为：mx?ny?1?mn?0?

2

2

xyx2y2

与双曲线2?2?1共焦点的双曲线系方程可设为：2?2?1?b2?k?a2

a?kb?kab

22

??

x2y2x2y2

与双曲线2?2?1共渐近线的双曲线系方程可设为：2?2?????0?

abab

三、 抛物线的标准方程及其几何性质

抛物线的定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等 的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

直线与抛物线相交于A(x1,y1),B?x2,y2?，且直线过抛物线的焦点，则过焦点的弦长公式：

AB?x1?x2?p?

2p

(?为弦AB的倾斜角） 2

sin?

直线与椭圆（或与双曲线、抛物线）相交于A(x1,y1),B?x2,y2?，则椭圆（或双曲线、抛物线）的弦长公式：

AB?x1?x2?

第二篇：椭圆双曲线知识点总结

椭圆知识点

在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

当动点设为M时，椭圆即为点集P??M|MF1?MF2?2a? 注意：若(PF1?PF2?F1F2)，则动点P的轨迹为线段F1F2；

若(PF1?PF2?F1F2)，则动点P的轨迹无图形。

x2y2

焦点在x轴上椭圆的标准方程: 2?2?1???a?b?0?，焦点坐标为（c，0)，（-c，0)

abx2y2

焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：2?2?1???a?b?0?焦点坐标为（0，c，）(o，-c)

ba

规律:

2，y2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.

为a＋c，最小距离为a－c.

cc2a2?b2b2

(3)在椭圆中，离心率e????1?2

22

aaaa

(4)椭圆的离心率e越接近１椭圆越扁；e越接近于０，椭圆就接近于圆； (5)离心率公式：在?F1PF2中，?PF1F2??，?PF2F1??，e?

sin?????

sin??sin?

二、椭圆其他结论

x0xy0yx2y2

?2?1 ??11、若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000

a2ba2b2

若已知切线斜率K，切线方程为y?kx?

a2k2?b2

x2y2

2、若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是

abx0xy0y

?2?1 2ab

x2y2

3、椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆的焦点

ab

角形的面积为S?F1PF2?btan

2

?

2

4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

2b2

5、过焦点的弦中，通径(过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦)最短

a

6、过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF。

x2y2b2

7、AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOM?kAB??2，

aba

即KAB

b2x0

??2。

ay0

x0xy0yx02y02x2y2

?2?2?2 8、若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则被Po所平分的中点弦的方程是2

abababx2y2x2y2x0xy0y

?2 9、若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2?2?2

ababab

10、若P为短轴顶点，则?F1PF2??最大

定 义:∣PF1∣+∣PF2∣＝2a ∣F1F2∣＝2c

222

余弦定理:∣F1F2∣=∣PF1∣+∣PF2∣-2∣PF1∣∣PF2∣cosθ(∠F1PF2=θ)

x2y2

面积公式:在椭圆2?2?1（a＞b＞0）中，焦点分别为F1、F2，点P是椭圆上任意一点，

ab

?2

?F1PF2??，则S?F1PF2?btan

2

x2y2

(x0,y0)与椭圆2?2?1(a>b>0)的位置关系:

ab

x02y02

点P在椭圆上?2?2?1

ab

x02y02x02y02

点P在椭圆内部?2?2?1 点P在椭圆外部?2?2?1

abab

?y?kx?b222

① 直线斜率存在时?2?(m?kn)x?2kbnx?b?1?0 2

?mx?ny?1

直线与椭圆相交???0 直线与椭圆相切???0 直线与椭圆相离???0

?x?m?

② 直线斜率不存在时?x2y2判断y有几个解

?2?2?1

b?a

例1.

x2y2

??1与直线l交于A、B两点，A、B中点为M?1,1?，求直线l的方程 已知：椭圆

169

(点差法：9x?16y?25?0)

例2.

x2y2x2y2

??1有相同焦点的椭圆方程 (??1) 求过点2,且与椭圆5386

??

x2y2??1 设：所求椭圆方程为

5?k3?k

例3.

x2y2x2y2y2x2

??1有相同离心率的椭圆方程 (??1、??1) 求过点2,22且与椭圆488161020

??

x2y2??1 设：所求椭圆方程为

4k8k

例4.

25x2y2??1的离心率e?已知椭圆，求m的值 (m?、m?3)

35m5

例5.

x2y2

??1上存在A、B两点，关于直线 y?4x?m，对称。求m的取值范围。 若椭圆23

?2222?

?m????5,5?

??

双曲线知识点

在平面内到两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

当动点设为M时，椭圆即为点集P?M|MF1?MF2?2a 注意：若(MF1?MF2?F1F2)，则动点P的轨迹为两条射线；

若(MF1?MF2?F1F2)，则动点P的轨迹无图形。

??

x2y2

焦点在x轴上双曲线的标准方程: 2?2?1???a?0,b?0?，焦点坐标为（c，0)，（-c，0)

ab

y2x2

焦点在y轴上的双曲线的标准方程为：2?2?1???a?0,b?0?焦点坐标为（0，c，）(o，-c)

ba

【知识点3】双曲线的几何性质

规律:

2.区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.

c(3)

在双曲线中，离心率e????a(4)双曲线的离心率e越大,开口越阔.

定 义:∣PF1∣-∣PF2∣＝±2a ∣F1F2∣＝2c

222

余弦定理:∣F1F2∣=∣PF1∣+∣PF2∣-2∣PF1∣∣PF2∣cosθ(∠F1PF2=θ)

x2y2

面积公式:在双曲线2?2?1（a＞b＞0）中，焦点分别为F1、F2，点P是双曲线上任意一点，

ab

S?F1PF2?

b2tan

?F1PF2??，则

2

【知识点5】直线与双曲线的位置关系的判断：

x2y2

设直线l:y?kx?m(m?0)，双曲线2?2?1(a?0,b?0)联立解得

ab

(b2?a2k2)x2?2a2mkx?a2m2?a2b2?0

b

，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； ab222222222222

（2）若b?ak?0即k??时，??(?2amk)?4(b?ak)(?am?ab)

a

222

（1）若b?ak?0即k??

①??0?直线与双曲线相交，有两个交点； ②??0?直线与双曲线相切，有一个交点； ③??0?直线与双曲线相离，无交点；

:

│AB

│

|x1?x2|?

?

AB??

y?y （其中k为直线斜率） ?12（点差法）：遇到弦中点，两式减一减。若要求弦长，韦达来帮忙。